el_tolstyh (el_tolstyh) wrote,
el_tolstyh
el_tolstyh

Category:

Северная пестрядь - Фракталы Герасимова в простых числах



Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» — это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P — ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.
Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.


Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.
Или используя JavaScript реализацию алгоритма. http://xcont.com/pattern.html
Английская версия: New kind of fractals — Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p — взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже — фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.





Если обе стороны нечетные — получаем симметрический узор:

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч — всегда четное число.
Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат — останется не измененная часть фрактала.
Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно — можно добраться до «начала» фрактала. Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.
В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Поехали:

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на х.
Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Что можно сказать в заключении?
Хаос — это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки — обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень — пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны — все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов — волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?













Tags: ВИО_Ингерманландский_полк, Ленобласть, Питер, Приморье, Россия, реконструкторы
Subscribe
promo el_tolstyh march 19, 2018 21:34 1
Buy for 300 tokens
Военно-Историческое общество "Ингерманландский полк" Битва при Гангуте и Ингерманландский полк КАК СОЗДАВАЛСЯ И ПОЧЕМУ НЕ БЫЛ ОТКРЫТ МУЗЕЙ «ГАНГУТСКИЙ МЕМОРИАЛ». Часть 3 Мемориальная Пантелеймоновская церковь. Пантелеймоновская улица (улица Пестеля), дом № 2а. Фото 2010-х годов. ГАНГУТСКИЙ…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments